Полезные материалы:

Решения типовых задач - Векторная алгебра

Собственные числа и векторы

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе   матрицей .

Решение
Ненулевой вектор  называется собственным вектором, а число -соответствующим вектору  собственным значением оператора , если  или .
Для заданной матрицы  последнее матричное уравнение
примет вид  или
Этому матричному уравнению соответствует однородная линейная система уравнений
                                                                                                            
Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения необходимо, чтобы её определитель  был равен нулю.
Уравнение  называют характеристическим уравнением.
Для нахождения собственных значений  решим характеристическое уравнение:


, ,
Таким образом, собственными значениями линейного оператора, заданного матрицей  (собственными значениями матрицы ), являются , , .
Найдем собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, то есть векторы  .
Для  получим систему уравнений для нахождения  координат первого собственного вектора
      
Полагая , получим координаты первого собственного вектора .

При , получим .
Для  получим систему уравнений для нахождения координат второго собственного вектора
         
                  
Полагая , получим координаты второго собственного вектора .

При , получим .
Для  получим систему уравнений для нахождения координат третьего собственного вектора
         
                

   Полагая , получим координаты третьего собственного вектора .

При , получим .



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment