Полезные материалы:

Решения типовых задач - Векторная алгебра

Разложение вектора по базису

Задача 1. Написать разложение вектора x по векторам

Задача 2. В стандартном базисе пространства  даны векторы
, , ,  и
Требуется:
а) убедиться, что векторы  образуют базис пространства ;
б) найти разложение вектора  по этому базису;
в) найти угол между векторами  и .
Решение
а) Векторы  образуют базис пространства , если
их линейная комбинация  равна нулю, только при .
Уравнению  соответствует система  уравнений  

Эта однородная система имеет только нулевое (тривиальное) решение , если её определитель не равен нулю, то есть
Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки
.
Следовательно, заданные векторы  образуют базис пространства .
б) Найдем координаты вектора  в базисе  из векторного уравнения .
Этому векторному уравнению соответствует система
.
Решив систему, находим .
Следовательно, разложение вектора  по базису :
.
в) Если скалярное произведение в  определено аналогично тому, как это было в , то
.

   Следовательно, , то есть векторы  и  ортогональны.


Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment