Полезные материалы:

Решения типовых задач - Векторная алгебра

Нахождение элементов в пирамиде

Даны вершины пирамиды
  и точка .
   Найти:
   а) длину ребра ;
   б) косинус угла между рёбрами  и ;
   в) площадь грани ABC;
   г) объём пирамиды;
   д) уравнение прямой, на которой лежит ребро;
   е) уравнение прямой, на которой лежит высота  пирамиды, опущенная из вершины ;
Выяснить, лежат ли точки  и  по одну сторону плоскости грани
или по разные?

 Решение
а) Длину  найдём по формуле расстояния между двумя точками

б) Угол  между рёбрами и  будет равен углу между векторами  и
Введём в рассмотрение векторы  и  и найдём их координаты:



в) Площадь грани ABС (площадь треугольника АВС)
Введём в рассмотрение векторы  и  и найдём их координаты:
,
Найдём
Далее  и
г) Объём пирамиды
, ,
Найдём =


д) Прямая, на которой лежит ребро , проходит через точки  и . Запишем уравнение этой прямой, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки  и :
Для решаемой задачи  или
е) Прямая, на которой лежит высота пирамиды , проходит через точку  перпендикулярно плоскости BCD. Следовательно, нормальный вектор плоскости BCD будет являться направляющим вектором для прямой.
Уравнение плоскости BCD найдём, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
Для решаемой задачи это точки , ,  и, следовательно, уравнение  


,  .
Вектор  является нормальным вектором плоскости , следовательно, этот вектор является направляющим вектором для прямой, проходящей через точку  перпендикулярно плоскости . Уравнение этой прямой
Выясним, лежат ли точки  и  по одну сторону плоскости грани  или по разные?
Найдём уравнение плоскости грани  как уравнение плоскости, проходящей через точку  и имеющей нормальный вектор :

.
Для решаемой задачи , а  найден в п. в) решаемой задачи. Следовательно, уравнение плоскости грани : или .
Для всех точек , лежащих на плоскости, будет выполняться равенство , для точек, лежащих по одну сторону плоскости, будет выполняться неравенство , для точек, лежащих по другую сторону плоскости, - неравенство .
Для точки  выполняется неравенство .
Для точки  выполняется неравенство .

   Следовательно, точки  и  лежат по одну сторону плоскости грани .


Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment