Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Доверительный интервал для оценки истинного значения случайной величины

Задача

В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице.

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

X10

6,9

7,3

7,1

9,5

9,7

7,9

7,6

9,1

6,6

9,9

Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.

Решение:

Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента.
Фактически требуется построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.
Требуется отыскать такое число , для которого верно равенство

В этой формуле:

- выборочное среднее
- стандартное (среднеквадратическое) отклонение
a  - математическое ожидание
n  - объем выборки (нашем случае 10)
 - величина, в сумме с доверительной вероятностью дающая 1 (в нашем случае 0,05)

Величину  (в нашем случае ) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.
Находим выборочное среднее как среднее арифметическое

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию:

Тогда

Получаем:

Ответ: истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (7,257; 9,063) с доверительной вероятностью 0,95.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment