Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Основные законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный, показательный, нормальный

Задача 1.
Поезда метро идут строго по расписанию. Интервал движения – 5 минут. Составить f(x) и F(x) случайной величины X – времени ожидания очередного поезда и построить их графики. Найти M(X), D(X).
Решение. Случайная величина X – время ожидания очередного поезда. Величина X распределена равномерно на отрезке [0,5], поэтому воспользуемся формулами
 
Тогда имеем

Математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:
.
Тогда
Задача 2.
Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Составить функцию распределения, функцию плотности этой случайной величины. Найти числовые характеристики и вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (0,3;1).
Решение. Очевидно, искомая плотность распределения

Искомая функция распределения

По условию  Следовательно,

Для нахождения вероятности P(0,3<X<1) воспользуемся формулой  
Тогда,
Задача 3.
Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали равна а=35, среднее квадратическое отклонение  Требуется:
а) составить функцию плотности вероятностей;
б) найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше
в) найти вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не больше чем на
Решение.

1. Так как непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, есть ее плотность распределения вероятностей выражается формулой
. Следовательно, .
2. Для нормально распределенной случайной величины

Тогда
3. Последнее задание решаем по формуле

Таким образом,

где Ф(x) – интегральная функция Лапласа.

 

Задача4
Заданы математическое ожидание а = 4  и среднеквадратическое отклонение s  = 6 нормально распределенной случайной величины.
Требуется:
 1) написать плотность распределения вероятностей и схематично построить ее график
 2) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (5; 9)
Решение:

Для решения необходимо знать, что нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, если дифференциальная функция имеет вид:

где а – мат. ожидание; - среднее квадратичное отклонение
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу  равна:

где  - функция Лапласа.

Для заданных условий:

График функции плотности распределения F(x):

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу  равна:

Значения функции Лапласа находятся по таблице.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment