Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Свойства математического ожидания
1. M(С) = C, где С - постоянная величина.
2. M(СX) = CM(X) , где С - постоянный множитель.
3. M(XY) = M(X) × M(Y), где X, Y - независимые случайные величины.
4. M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Свойства дисперсии
1. D(C) = 0, где С - постоянная величина.
2. , где С - постоянный множитель.
3. D(X+Y) = D(X) + D(Y), где X, Y - независимые случайные величины.
4. D(C+X) = D(X), где С - постоянная величина.
5. D(XY) = D(X)D(Y) + , где X, Y —независимые случайные величины.

Задача 3.
Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:
X

0

1

p

0,4

0,6

 

Y

1

2

p

0,2

0,8

 

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.
0+1=1        0+2=2        1+1=2        1+2=3
Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.
Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y - значение 1, то случайное событие Z=1 является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий Х=0 и Y=1. Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:
P(Z=1)=P{(X=0)(Y=1)}=P(X=0)P(Y=1)=0,4*0,2=0,08=.
Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие Z=2 – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:
P(Z=2)=P{(X=0)(Y=2)+(X=1)(Y=1)}=P{(X=0)(Y=2)}+P{(X=1)(Y=1)}=
=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0,4*0,8+0,6*0,2=0,32+0,12=0,44=.
Рассуждая аналогично, найдем:
P(Z=3)=P{(X=1)(Y=2)}=P(X=1)P(Y=2)=0,6*0,8=0,48=.
Проверим выполнение условия нормировки: =0,08+0,44+0,48=1.
Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:

Z

0

1

2

p

0,08

0,44

0,48



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment