Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Примеры - Теория вероятностей
Теория массового обслуживания
Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут.
Решение. Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма
, (1)
где f1(θ)-плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
- порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга
- го порядка (Э
).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид
. (2)
По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь
f1(θ)=3е-6θ(1+6θ), θ≥0. (3)
Построим график функции f1(θ). При θ<0 имеем f1(θ)=0. При θ=0, f1(0)=3. Рассмотрим предел
.
При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа использовано правило Лопиталя [8]. По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).
Рис.1
Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой
Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х). Эта площадь выражается определенным интегралом
Следовательно, искомая вероятность равна
Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θdθ. Тогда dU=6dθ и V=.
Используя формулу получим
Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.
Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале.
Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок:
где
(час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда
польз./час.
Найдем -интенсивность потока обслуживания:
, где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,
тогда польз/час.
Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам
Поскольку =5, имеем
Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство
Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.
Найдем эти вероятности: ро=0,014; р1=3,93*0,014; р2=7,72*0,014; р3=10,12*0,014; р4=9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:
- 1. среднее число пользователей в очереди
;
2. среднее число пользователей в дисплейном зале
;
3. среднее время ожидания свободного дисплея
4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале
.
Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р*=0,54; пользователя;
пользователя;
;
.
Задача 3. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Методом Монте-Карло найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин. Указание: провести три испытания.
Решение. Изобразим статистическое моделирование работы заданной СМО с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:Вх-входящий поток заявок, здесь ti-моменты поступления заявок; Ti-интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно, что ti=ti-1+Тi.
К1-первый канал обслуживания;
К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной.
Вых ОБ-выходящий поток обслуженных заявок.
Вых ПТ-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала [0; tmax]. Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток Вых ПТ. Так на рис. 3 заявка №10, пришедшая в систему в момент t10, не успевает обслужиться до момента tmax, так как t10+Тобсл.>tmax. Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в Вых ПТ, получая отказ.
Рис. 3
Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Тi. Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ=5, то плотность распределения имеет вид f(τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом
.
Известно, что область значений функции распределения F(T) есть отрезок [0; 1]. Выбираем из таблицы случайных чисел число и определяем Тi из равенства
, откуда
. Однако, если
. Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации
. Следовательно,
е-5Тi=ri, или –5Тi=lnri, откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.
Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1
№ зая-вки |
Сл. число |
-ln ri |
- |
Момент поступления заявки |
Момент окончания обслужив. |
Счетчик заявок |
||
К1 | К2 |
Обсл. |
Потер |
|||||
0,10 |
2,30 |
0,46 |
0,46 |
0,96 |
|
1 |
|
|
0,09 |
2,41 |
0,48 |
0,94 |
|
1,44 |
1 |
|
|
0,73 |
0,31 |
0,06 |
1,00 |
1,50 |
|
1 |
|
|
0,25 |
1,39 |
0,28 |
1,28 |
|
|
|
1 |
|
0,33 |
1,11 |
0,22 |
1,50 |
2,00 |
|
1 |
|
|
0,76 |
0,27 |
0,05 |
1,55 |
|
2,05 |
1 |
|
|
0,52 |
0,65 |
0,13 |
1,68 |
|
|
|
1 |
|
0,01 |
4,61 |
0,92 |
2,60 |
3,10 |
|
1 |
|
|
0,35 |
1,05 |
0,21 |
2,81 |
|
3,31 |
1 |
|
|
0,86 |
0,15 |
0,03 |
2,84 |
|
|
|
1 |
|
0,34 |
1,08 |
0,22 |
3,06 |
|
|
|
1 |
|
067 |
0,40 |
0,08 |
3,14 |
3,64 |
|
1 |
|
|
0,35 |
1,05 |
0,21 |
3,35 |
|
3,85 |
1 |
|
|
0,48 |
0,73 |
0,15 |
3,50 |
|
|
|
1 |
|
0,76 |
0,27 |
0,05 |
3,55 |
|
|
|
1 |
|
0,37 |
0,99 |
0,20 |
3,75 |
4,25 |
STOP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
№ зая-вки |
Сл. число |
-ln ri |
- |
Момент поступления заявки |
Момент окончания обслужив. |
Счетчик заявок |
||
К1 |
К2 |
Обсл. |
Потер |
|||||
0,54 |
062 |
0,12 |
0,12 |
0,62 |
|
1 |
|
|
0,20 |
1,61 |
0,32 |
0,44 |
|
0,94 |
1 |
|
|
0,48 |
0,73 |
0,15 |
0,59 |
|
|
|
1 |
|
0,05 |
3,00 |
0,60 |
1,19 |
1,69 |
|
1 |
|
|
0,64 |
0,45 |
0,09 |
1,28 |
|
1,78 |
1 |
|
|
0,89 |
0,12 |
0,02 |
1,30 |
|
|
|
1 |
|
0,47 |
0,76 |
0,15 |
1,45 |
|
|
|
1 |
|
0,42 |
0,87 |
0,17 |
1,62 |
|
|
|
1 |
|
0,96 |
0,04 |
0,01 |
1,63 |
|
|
|
1 |
|
0,24 |
1,43 |
0,29 |
1,92 |
2,42 |
|
1 |
|
|
0,80 |
0,22 |
0,04 |
1,96 |
|
2,46 |
1 |
|
|
0,52 |
0,65 |
0,13 |
2,09 |
|
|
|
1 |
|
0,40 |
0,92 |
0,18 |
2,27 |
|
|
|
1 |
|
0,37 |
0,99 |
0,20 |
2,47 |
2,97 |
|
1 |
|
|
0,08 |
2,53 |
0,51 |
2,98 |
3,48 |
|
1 |
|
|
0,42 |
0,87 |
0,17 |
3,15 |
|
3,65 |
1 |
|
|
0,26 |
1,35 |
0,27 |
3,42 |
|
|
|
1 |
|
0,89 |
0,12 |
0,02 |
3,44 |
|
|
|
1 |
|
0,53 |
0,63 |
0,13 |
3,57 |
4,07 |
STOP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
№ зая-вки |
Сл. число |
-ln ri |
- |
Момент поступления заявки |
Момент окончания обслужив. |
Счетчик заявок |
|||
К1 | К2 |
Обсл. |
Потер |
||||||
0,19 |
1,66 |
0,33 |
0,33 |
0,83 |
|
1 |
|
||
0,64 |
0,45 |
0,09 |
0,42 |
|
0,92 |
1 |
|
||
0,50 |
0,69 |
0,14 |
0,56 |
|
|
|
1 |
||
0,93 |
0,07 |
0,01 |
0,57 |
|
|
|
1 |
||
0,03 |
3,51 |
0,70 |
1,27 |
1,77 |
|
1 |
|
||
0,23 |
1,47 |
0,29 |
1,56 |
|
2,06 |
1 |
|
||
0,20 |
1,61 |
0,32 |
1,88 |
2,38 |
|
1 |
|
||
0,90 |
0,11 |
0,02 |
1,90 |
|
|
|
1 |
||
0,25 |
1,39 |
0,28 |
2,18 |
|
2,68 |
1 |
|
||
0,60 |
0,51 |
0,10 |
2,28 |
|
|
|
1 |
||
0,99 |
0,01 |
0,00 |
2,28 |
|
|
|
1 |
||
0,01 |
4,61 |
0,92 |
3,20 |
3,70 |
|
1 |
|
||
0,90 |
0,11 |
0,02 |
3,22 |
|
3,72 |
1 |
|
||
0,25 |
1,39 |
0,28 |
3,50 |
|
|
|
1 |
||
0,29 |
1,24 |
0,25 |
3,75 |
4,25 |
STOP |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1=9, х2=9, х3=8. Найдем среднее число обслуженных заявок: