Высшая математика и экономика

Теория массового обслуживания

Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут. Решение. Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма

,           (1)

где f1(θ)-плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
 - порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга - го порядка (Э).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид

.                         (2)

По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь

f1(θ)=3е-6θ(1+6θ),            θ≥0.                         (3)

Построим график функции f1(θ). При θ<0 имеем f1(θ)=0. При θ=0, f1(0)=3. Рассмотрим предел

.  

При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа  использовано правило Лопиталя [8]. По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).

Рис.1

Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой

Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х). Эта площадь выражается определенным интегралом

Следовательно, искомая вероятность равна

Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θdθ. Тогда dU=6dθ и V=.
Используя формулу получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.

Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале.Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок: где (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда  польз./час.

Найдем -интенсивность  потока обслуживания: , где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,

тогда  польз/час.

Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам

Поскольку =5, имеем

Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство

Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.

Найдем эти вероятности: ро=0,014; р1=3,93*0,014; р2=7,72*0,014; р3=10,12*0,014; р4=9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:

• 1. среднее число пользователей в очереди

;

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

;

3. среднее время ожидания свободного дисплея

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

.

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р*=0,54;  пользователя;  пользователя; ; .

Задача 3. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Методом Монте-Карло найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин. Указание: провести три испытания. Решение. Изобразим статистическое моделирование работы заданной СМО с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:
Вх-входящий поток заявок, здесь ti-моменты поступления заявок; Ti-интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно, что ti=ti-1+Тi.
К1-первый канал обслуживания;
К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной.
Вых ОБ-выходящий поток обслуженных заявок.
Вых ПТ-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала [0; tmax]. Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток Вых ПТ. Так на рис. 3 заявка №10, пришедшая в систему в момент t10, не успевает обслужиться до момента tmax, так как t10+Тобсл.>tmax. Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в Вых ПТ, получая отказ.

 
Рис. 3

Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Тi. Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ=5, то плотность распределения имеет вид f(τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом

.

Известно, что область значений функции распределения F(T) есть отрезок [0; 1]. Выбираем из таблицы случайных чисел число  и определяем Тi  из равенства , откуда . Однако, если . Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации . Следовательно,
е-5Тi=ri, или –5Тi=lnri, откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без  пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.

Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1

№ зая-вки i	Сл. число ri	-ln ri	-ln ri Тi	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
					К1	К2	Обсл.	Потер
	0,10	2,30	0,46	0,46	0,96		1
	0,09	2,41	0,48	0,94		1,44	1
	0,73	0,31	0,06	1,00	1,50		1
	0,25	1,39	0,28	1,28				1
	0,33	1,11	0,22	1,50	2,00		1
	0,76	0,27	0,05	1,55		2,05	1
	0,52	0,65	0,13	1,68				1
	0,01	4,61	0,92	2,60	3,10		1
	0,35	1,05	0,21	2,81		3,31	1
	0,86	0,15	0,03	2,84				1
	0,34	1,08	0,22	3,06				1
	067	0,40	0,08	3,14	3,64		1
	0,35	1,05	0,21	3,35		3,85	1
	0,48	0,73	0,15	3,50				1
	0,76	0,27	0,05	3,55				1
	0,37	0,99	0,20	3,75	4,25	STOP
							9

Таблица 2 ИСПЫТАНИЕ №2

№ зая-вки i	Сл. число ri	-ln ri	-ln ri Тi	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
					К1	К2	Обсл.	Потер
	0,54	062	0,12	0,12	0,62		1
	0,20	1,61	0,32	0,44		0,94	1
	0,48	0,73	0,15	0,59				1
	0,05	3,00	0,60	1,19	1,69		1
	0,64	0,45	0,09	1,28		1,78	1
	0,89	0,12	0,02	1,30				1
	0,47	0,76	0,15	1,45				1
	0,42	0,87	0,17	1,62				1
	0,96	0,04	0,01	1,63				1
	0,24	1,43	0,29	1,92	2,42		1
	0,80	0,22	0,04	1,96		2,46	1
	0,52	0,65	0,13	2,09				1
	0,40	0,92	0,18	2,27				1
	0,37	0,99	0,20	2,47	2,97		1
	0,08	2,53	0,51	2,98	3,48		1
	0,42	0,87	0,17	3,15		3,65	1
	0,26	1,35	0,27	3,42				1
	0,89	0,12	0,02	3,44				1
	0,53	0,63	0,13	3,57	4,07	STOP
							9

Таблица №3 ИСПЫТАНИЕ №3

№ зая-вки i		Сл. число ri	-ln ri	-ln ri Тi	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
						К1	К2	Обсл.	Потер
	0,19		1,66	0,33	0,33	0,83		1
	0,64		0,45	0,09	0,42		0,92	1
	0,50		0,69	0,14	0,56				1
	0,93		0,07	0,01	0,57				1
	0,03		3,51	0,70	1,27	1,77		1
	0,23		1,47	0,29	1,56		2,06	1
	0,20		1,61	0,32	1,88	2,38		1
	0,90		0,11	0,02	1,90				1
	0,25		1,39	0,28	2,18		2,68	1
	0,60		0,51	0,10	2,28				1
	0,99		0,01	0,00	2,28				1
	0,01		4,61	0,92	3,20	3,70		1
	0,90		0,11	0,02	3,22		3,72	1
	0,25		1,39	0,28	3,50				1
	0,29		1,24	0,25	3,75	4,25	STOP
								8

Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1=9, х2=9, х3=8. Найдем среднее число обслуженных заявок:

Ответ: среднее число заявок, обслуженных СМО за 4 минуты, равно 8,6(6).