Полезные материалы:

Примеры - Теория вероятностей

Теория массового обслуживания

Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут. Решение. Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма

,           (1)

где f1(θ)-плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
 - порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга - го порядка (Э).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид

.                         (2)

По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь

f1(θ)=3е-6θ(1+6θ),            θ≥0.                         (3)

Построим график функции f1(θ). При θ<0 имеем f1(θ)=0. При θ=0, f1(0)=3. Рассмотрим предел

.  

При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа  использовано правило Лопиталя [8]. По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).


Рис.1

Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой


Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х). Эта площадь выражается определенным интегралом

Следовательно, искомая вероятность равна

Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θdθ. Тогда dU=6dθ и V=.
Используя формулу получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.

Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале.Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок: где (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда  польз./час.

Найдем -интенсивность  потока обслуживания: , где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,

тогда  польз/час.

Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам


Поскольку =5, имеем

Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство

Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.

Найдем эти вероятности: ро=0,014; р1=3,93*0,014; р2=7,72*0,014; р3=10,12*0,014; р4=9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:

  • 1. среднее число пользователей в очереди

;

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

;

3. среднее время ожидания свободного дисплея

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

.

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р*=0,54;  пользователя;  пользователя; ; .

Задача 3. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Методом Монте-Карло найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин. Указание: провести три испытания. Решение. Изобразим статистическое моделирование работы заданной СМО с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:
Вх-входящий поток заявок, здесь ti-моменты поступления заявок; Ti-интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно, что ti=ti-1+Тi.
К1-первый канал обслуживания;
К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной.
Вых ОБ-выходящий поток обслуженных заявок.
Вых ПТ-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала [0; tmax]. Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток Вых ПТ. Так на рис. 3 заявка №10, пришедшая в систему в момент t10, не успевает обслужиться до момента tmax, так как t10+Тобсл.>tmax. Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в Вых ПТ, получая отказ.

 
Рис. 3

Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Тi. Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ=5, то плотность распределения имеет вид f(τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом

.

Известно, что область значений функции распределения F(T) есть отрезок [0; 1]. Выбираем из таблицы случайных чисел число  и определяем Тi  из равенства , откуда . Однако, если . Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации . Следовательно,
е-5Тi=ri, или –5Тi=lnri, откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без  пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.

Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1

№ зая-вки
i

Сл. число
ri

-ln ri

-ln ri
Тi

Момент поступления заявки
ti=ti-1+Ti

Момент окончания обслужив.
ti+0,50

Счетчик заявок
К1

К2

Обсл.

Потер

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

0,10

2,30

0,46

0,46

0,96

 

1

 
  1.  

0,09

2,41

0,48

0,94

 

1,44

1

 
  1.  

0,73

0,31

0,06

1,00

1,50

 

1

 
  1.  

0,25

1,39

0,28

1,28

 

 

 

1
  1.  

0,33

1,11

0,22

1,50

2,00

 

1

 
  1.  

0,76

0,27

0,05

1,55

 

2,05

1

 
  1.  

0,52

0,65

0,13

1,68

 

 

 

1
  1.  

0,01

4,61

0,92

2,60

3,10

 

1

 
  1.  

0,35

1,05

0,21

2,81

 

3,31

1

 
  1.  

0,86

0,15

0,03

2,84

 

 

 

1
  1.  

0,34

1,08

0,22

3,06

 

 

 

1
  1.  

067

0,40

0,08

3,14

3,64

 

1

 
  1.  

0,35

1,05

0,21

3,35

 

3,85

1

 
  1.  

0,48

0,73

0,15

3,50

 

 

 

1
  1.  

0,76

0,27

0,05

3,55

 

 

 

1
  1.  

0,37

0,99

0,20

3,75

4,25

STOP

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 
Таблица 2 ИСПЫТАНИЕ №2

№ зая-вки
i

Сл. число
ri

-ln ri

-ln ri
Тi

Момент поступления заявки
ti=ti-1+Ti

Момент окончания обслужив.
ti+0,50

Счетчик заявок

К1

 

К2

Обсл.

Потер

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

0,54

062

0,12

0,12

0,62

 

1

 
  1.  

0,20

1,61

0,32

0,44

 

0,94

1

 
  1.  

0,48

0,73

0,15

0,59

 

 

 

1
  1.  

0,05

3,00

0,60

1,19

1,69

 

1

 
  1.  

0,64

0,45

0,09

1,28

 

1,78

1

 
  1.  

0,89

0,12

0,02

1,30

 

 

 

1
  1.  

0,47

0,76

0,15

1,45

 

 

 

1
  1.  

0,42

0,87

0,17

1,62

 

 

 

1
  1.  

0,96

0,04

0,01

1,63

 

 

 

1
  1.  

0,24

1,43

0,29

1,92

2,42

 

1

 
  1.  

0,80

0,22

0,04

1,96

 

2,46

1

 
  1.  

0,52

0,65

0,13

2,09

 

 

 

1
  1.  

0,40

0,92

0,18

2,27

 

 

 

1
  1.  

0,37

0,99

0,20

2,47

2,97

 

1

 
  1.  

0,08

2,53

0,51

2,98

3,48

 

1

 
  1.  

0,42

0,87

0,17

3,15

 

3,65

1

 
  1.  

0,26

1,35

0,27

3,42

 

 

 

1
  1.  

0,89

0,12

0,02

3,44

 

 

 

1
  1.  

0,53

0,63

0,13

3,57

4,07

STOP

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 
Таблица №3 ИСПЫТАНИЕ №3

№ зая-вки
i

Сл. число
ri

-ln ri

-ln ri
Тi

Момент поступления заявки
ti=ti-1+Ti

Момент окончания обслужив.
ti+0,50

Счетчик заявок
К1

К2

Обсл.

Потер

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

0,19

1,66

0,33

0,33

0,83

 

1

 
  1.  

0,64

0,45

0,09

0,42

 

0,92

1

 
  1.  

0,50

0,69

0,14

0,56

 

 

 

1
  1.  

0,93

0,07

0,01

0,57

 

 

 

1
  1.  

0,03

3,51

0,70

1,27

1,77

 

1

 
  1.  

0,23

1,47

0,29

1,56

 

2,06

1

 
  1.  

0,20

1,61

0,32

1,88

2,38

 

1

 
  1.  

0,90

0,11

0,02

1,90

 

 

 

1
  1.  

0,25

1,39

0,28

2,18

 

2,68

1

 
  1.  

0,60

0,51

0,10

2,28

 

 

 

1
  1.  

0,99

0,01

0,00

2,28

 

 

 

1
  1.  

0,01

4,61

0,92

3,20

3,70

 

1

 
  1.  

0,90

0,11

0,02

3,22

 

3,72

1

 
  1.  

0,25

1,39

0,28

3,50

 

 

 

1
  1.  

0,29

1,24

0,25

3,75

4,25

STOP

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1=9, х2=9, х3=8. Найдем среднее число обслуженных заявок:

Ответ: среднее число заявок, обслуженных СМО за 4 минуты, равно 8,6(6).