Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Двумерная дискретная величина

Выборочно обследовано 100 заводов по величине основных производственных фондов X (млн. руб.) и объему готовой продукции Y (млн. руб.). Результаты представлены в корреляционной таблице (табл. 1).
Таблица 1

Y

X

5

15

25

35

45

30

7

1

 

 

 

8

32

2

7

1

 

 

10

34

1

5

4

1

 

11

36

 

1

15

10

8

34

38

 

 

3

12

15

30

40

 

 

 

1

6

7

10

14

23

24

29

n=100

По данным исследования требуется:
1) в прямоугольной системе координат построить эмпирические ломаные регрессии Y на X и X на Y;
2) оценить тесноту линейной корреляционной связи;
3) составить линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y и построить их графики в одной системе координат.
Решение. 1. Так как при x = 5 признак Y имеет распределение 

Y

30

32

34

7

2

1

то условное среднее
При x=15 признак Y имеет распределение

Y

30

32

34

36

1

7

5

1

Cледовательно   
Аналогично вычисляются все условные средние . В результате получим таблицу, выражающую корреляционную зависимость от X

X

5

15

25

35

45

30,8

32,86

35,74

37,08

37,86

Так как при y=30 признак X имеет распределение 

X

5

15

7

1

то условное среднее
При y = 32 признак X имеет распределение

X

5

15

25

2

7

1

Следовательно  

Аналогично вычисляются все . В результате получим табл.

Y

30

32

34

36

38

40

6,25

14

19,54

32,35

39

43,57


В прямоугольной системе координат построим точки , соединим их отрезками прямых, получим эмпирическую линию регрессии Y на X. Аналогично строятся точки  и эмпирическая линия регрессии X на Y .
2. Выдвинув гипотезу о линейной корреляционной зависимости, оценим тесноту связи. Вычислим выборочный коэффициент корреляции
,
, , , ,
, ,
 
;




Так как  близок к единице, то между Y и X имеется достаточно тесная корреляционная связь.
3. Подставляя найденные величины в уравнения
, ,
получаем искомые уравнения регрессии:
1) уравнение регрессии Y на X

2) уравнение регрессии X на Y


Замечание. Если в корреляционной таблице даны интервальные распределения,
то за значения вариант нужно брать середины частичных интервалов.
Изобразим графики прямых линий регрессии на чертеже.


Так как значения признаков X и Y являются равноотстоящими, то можно данную задачу решить с помощью условных вариант.
Так, в данном примере
, , ;
, , .

 

v u

-2

-1

0

1

2

-3

7

1

 

 

 

8

-2

2

7

1

 

 

10

-1

1

5

4

1

 

11

0

 

1

15

10

8

34

1

 

 

3

12

15

30

2

 

 

 

1

6

7

10

14

23

24

29

n=100


; ;
;
;

;


Подставляя полученные данные в уравнение регрессии, получим
.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment