Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Статистические оценки параметров распределения

Задача 1.
Из большой группы предприятий одной из отраслей промышленности случайным образом отобрано 30, по которым получены показатели основных фондов в млн. руб.: 2; 3; 2; 4; 5; 2; 3; 3; 6; 4; 5; 4; 6; 5; 3; 4; 2; 4; 3; 3; 5; 4; 6; 4; 5; 3; 4; 3; 2; 4.
  1. Составить дискретное статистическое распределение выборки.
  2. Найти объем выборки.
  3. Составить распределение относительных частот.
  4. Построить полигон частот.
  5. Составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
  6. Найти несмещенные оценки числовых характеристик случайной величины.

Решение

  1. Расположим различные значения признака в порядке их возрастания и под каж-

дым из них запишем их частоты. Получим дискретное статистическое распределение выборки:

2

3

4

5

6

5

8

9

5

3

где  - варианты,  - частоты вариант .
2. Сумма частот всех вариант должна быть равной объему выборки.
В данном примере объем выборки равен: n=5 + 8 + 9 + 5 + 3=30.
3. Найдем относительные частоты:
    
Запишем искомое распределение относительных частот

2

3

4

5

6

Контроль:


  1. Строим точки с координатами  и соединяем их последовательно отрезка-

ми. Полученная ломаная линия называется полигоном частот:

  1. Согласно определению эмпирической функцией распределения называется функция вида
    где n – объем выборки;  - сумма частот вариант, меньших x.
    Эмпирическая функция является оценкой функции распределения генеральной совокупности. Наименьшая варианта равна 2, поэтому при  Значение X<3, а именно,  наблюдалось 5 раз. Тогда для  Значение X< 4, а именно, X=2, X=3, наблюдалось 5 + 8 =13 раз. Поэтому для
    Аналогично рассуждая, получаем: для для
    и при  
    Таким образом,

    График эмпирической функции имеет вид:
  1. Несмещенной      оценкой   математического     ожидания      является    средняя

    выборочная:

    Несмещенная оценка дисперсии – исправления выборочная дисперсия:

Задача 2.
Выборочно обследование 30 предприятий машиностроительной промышленности по валовой продукции и получены следующие данные, в млн. руб.:
18,0;   12,0;   11,9;   1,9;   5,5;  14,6;    4,8;   5,6;   4,8;   10,9;   9,7;   7,2;  12,4;   7,6; 
9,7;   11,2;    4,2;    4,9;  9,6;    3,2;     8,6;   4,6;   6,7;   8,4;   6,8;   6,9;  17,9;   9,6;
14,8;   15,8.
Составить интервальное распределение выборки с началом  и длиной частичного интервала . Построить гистограмму частот.
Решение. Для составления интервального распределения составим таблицу, в первой строке которой расположим в порядке возрастания интервалы, длина каждого из которых . Во второй строке запишем количество значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал):

1-4

4-7

7-10

10-13

13-16

16-19

2

10

8

5

3

2

Объем выборки n = 2 + 10 + 8 + 5 + 3 + 2 = 30.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из них строим прямоугольники высотой  где  - частота i-го частичного интервала, h – шаг (длина интервала), таким образом, гистограмма примет вид:

Указание. Для построения эмпирической функции распределения и нахождения точечных оценок ряда необходимо преобразовать его к дискретному виду по формуле 
.

Получим

2,5

5,5

8,5

11,5

14,5

17,5

2

10

8

5

3

2

Задача 3.
Из большой партии электроламп случайным образом отобрано 100. Средняя продолжительность горения ламп в выборке оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью  доверительный интервал для средней продолжительности а горения ламп во всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы ч и продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону.
Решение. По условию  Для решения воспользуемся формулой

По приложению 3 находим t из условия:

Тогда доверительный интервал:



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment