Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности
,
где B1, B2 ,..., Bn  - полная группа попарно несовместных событий.
Формула Байеса
,
где B1, B2, ..., Bn - полная группа событий.

Задача 1.
Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А,В,С. На долю фирмы А приходится 50 % общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, фирмой В – 5% и С – 6%.
Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь будет бракованной.

Решение. Производится испытание – извлекается одна деталь.
Событие А – появилась бракованная деталь.
Гипотеза Н1 – деталь фирмы А.
Гипотеза Н2 – деталь фирмы В.
Гипотеза Н3 – деталь фирмы С.
Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность равна:

Задача 2.
В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90 % пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1 % неправильно заполненных накладных. Остальные 10 % пачек были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5 % неверно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неверно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана несоответствующей стандарту?

Решение. Испытание – проверяется пачка накладных.
Событие А – взятая наугад накладная оказалась неверной. 
Гипотеза Н1 – пачка не соответствует стандарту.
Гипотеза Н2 – пачка соответствует стандарту.
Необходимо узнать вероятность гипотезы Н1 при условии, что событие А произошло. Согласно формуле Бейеса имеем:

Задача 3.
Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.

Решение: Введем обозначения для рассматриваемых событий.
Пусть А - извлечен белый шар. - выбрана первая урна.
- выбрана вторая урна. - выбрана третья урна.
- вероятность извлечения белого шара из первой урны.
- вероятность извлечения белого шара из второй урны.
- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.
Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то
.
,   ,   .
Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
.
Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment