Полезные материалы:

Решения типовых задач - Теория вероятностей

Геометрическая вероятность

Геометрической вероятностью, характеризующей вероятность появления случайной точки внутри некоторой области, называется отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка ,
где Рd - вероятность попадания случайной точки в область Sd;

S - общая область, где может появляться случайная точка.

Задача1

В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга.

Решение:

Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности.

Мерой пространства элементарных событий  является площадь квадрата. Площадь круга - мера события А. . Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле


Задача2

На окружности радиуса R наудачу проводится хорда, параллельная данному направлению. Какова вероятность того, что длина хорды не превысит R?

Решение:

Пусть длина хорды AB, параллельной заданной прямой a, равна l. Вероятность события F – «Длина хорды l £ R», согласно определению геометрической вероятности, равна
P(F) = ,
где m(W) – мера полного пространства (множества) всех возможных равновероятных исходов;  m(F) – мера пространства всех возможных исходов, благоприятствующих событию F.


Поскольку имеется выделенное направление на плоскости, заданное прямой a, задачу удобно решать координатным методом. Начало системы координат выберем в центре окружности O, ось Oy направим параллельно, а ось Ox – перпендикулярно прямой a. Пусть хорда AB, параллельная оси Oy, пересекает ось Ox в точке С (x; 0). Координату x точки C выберем в качестве непрерывной линейной случайной величины (н.с.в.).

Очевидно, н.с.в. x лежит в диапазоне –RxR и с равной вероятностью может принять любое значение из этого промежутка. Т.о., вероятностное пространство всех возможных исходов W представляет собой отрезок W = [–R; R], его мера m(W) = R – (–R) = 2R.
Множество значений с.в. x, благоприятствующих событию F, найдем из геометрических соображений. Видно, что по теореме Пифагора длина хорды l = 2.
По условию,
2 ≤ R,
откуда
x^2 ≥ R^2,
или
|x| ≥ R.
Т.о., событию F благоприятствует множество возможных значений x. Мера этого множества равна m(F) = 2R = R (2 – ).

Искомая вероятность события F равна:
P(F) =  = 1 –  ≈ 0,134.
Ответ: P(F) = 1 –  ≈ 0,134.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment