Полезные материалы:

Примеры - Математическое программирование

Выпуклое программирование. Графический метод и функция Лагранжа

Задача

Дана задача выпуклого программирования. Требуется:

1) найти решение графическим методом

2) написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.

Решение.

Графическое решение задачи следующее:

 

 

         Система неравенств определяет область, ограниченную двумя прямыми и координатными осями. График целевой функции представляет собой окружность переменного радиуса с центром в точке (5 , 10). Значение целевой функции графически представляет собой квадрат радиуса этой окружности. Минимальным радиусом, удовлетворяющим системе ограничений, будет  такой радиус, который обеспечивает касание окружности с границей области так, как это показано на рисунке.
Искомая точка определяется как решение системы уравнений

Получаем точку (3 , 8), значение целевой функции в этой точке равно 8.

Теперь запишем задачу в традиционном виде:

         Функция  называется функцией Лагранжа,

а переменные  - коэффициентами Лагранжа.
Точка  называется Седловой точкой функции Лагранжа, если для любых  выполняются неравенства:

Если функции  дифференцируемы, то условия определяющие седловую точку (условия Куна-Таккера):
 
 

В нашем случае получаем:






Подставим в эти выражения значения :

Получаем

Седловая точка функции Лагранжа: .

Проверим условия cедловой точки:



Условия выполнены, седловая точка .



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment