Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Поток векторного поля

Задача1
Даны: векторное поле   и плоскость  ,
которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду .
Пусть  – основание пирамиды, принадлежащее плоскости .
Найти поток векторного поля  через поверхность  в направлении внешней нормали.

Решение
Данное общее уравнение плоскости  преобразуем в уравнение плоскости в отрезках .
Из этого уравнения следует, что плоскость отсекает на осях  соответственно отрезки ,  и .

                         
Данная плоскость и координатные плоскости образуют пирамиду  с основанием  .
Вычислим поток векторного поля  через поверхность  в направлении нормали  методом проектирования поверхности  на одну координатную плоскость.
Спроектируем поверхность  на плоскость  в область  .
Поток найдем по формуле ,
где  единичный вектор нормали  к выбранной стороне поверхности .
По условию нормаль  направлена вне пирамиды .
Нормальный вектор плоскости   имеет координаты .
Так как третья координата вектора нормали положительна, то вектор нормали образует с осью  острый угол и .
Тогда .
Элемент площади .
Итак,





Задача 2.
Найти поток векторного поля через поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями).

Задача 3.
Найти поток векторного поля a через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ).

 

Задача 4.
Найти поток векторного поля через часть плоскости , расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью


 

Задача 5.
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Задача 6. Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя)

 

Перейдем к цилиндрической системе координат


Задача 7.
Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя).

Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса.



Цилиндрическая система координат

Отсюда,



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment