Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Переход к сферическим координатам в тройном интеграле
Задача
Вычислить тройной интеграл
, перейдя к сферической системе координат, где V-часть области, ограниченной поверхностями
,
,
,
, лежащая выше плоскости
.
Решение
Область интегрирования – это часть шара , лежащая выше плоскости
в первом октанте.
Если область интегрирования ограничена сферической поверхностью, то переход к сферическим координатам, как правило, значительно облегчает вычисление интеграла.
В сферической системе координат, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат, каждой точке с декартовыми координатами
соответствуют сферические координаты
, где r – длина вектора
,
– угол между вектором
и положительным направлением оси
,
– угол между вектором
и положительным направлением оси
.
Переменные могут принимать следующие значения:
,
,
.
Формулы перехода от декартовой системы координат к
сферической системе координат имеют вид
Якобиан перехода .
Следовательно,
.
Уравнениям границ области в декартовых координатах будут соответствовать уравнения в сферических координатах:
,
или ,
;
.
Следовательно, для области :
,
,
Задачи 2. Найти объем тела, заданного неравенствами

Сферическая система координат: