Высшая математика и экономика

Переход к сферическим координатам в тройном интеграле

Задача
Вычислить тройной интеграл , перейдя к сферической системе координат, где V-часть области, ограниченной поверхностями , , , , лежащая выше плоскости .

Решение
Область интегрирования – это часть шара , лежащая выше плоскости  в первом октанте.
Если область интегрирования ограничена сферической поверхностью, то переход к сферическим координатам, как правило, значительно облегчает вычисление интеграла.

В сферической системе координат, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат, каждой точке  с декартовыми координатами  соответствуют сферические координаты , где r – длина вектора ,  – угол между вектором  и положительным направлением оси ,  – угол между вектором  и положительным направлением оси .
Переменные  могут принимать следующие значения: , , .
Формулы перехода от декартовой системы координат к
сферической системе координат имеют вид
Якобиан перехода .
Следовательно,
.
Уравнениям границ области в декартовых координатах будут соответствовать уравнения в сферических координатах:   ,    

или ,   ;   .
Следовательно, для области : , ,  

Задачи 2. Найти объем тела, заданного неравенствами

Сферическая система координат: