Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Двойной интеграл по заданной области

Задача
Вычислить двойной интеграл  где область D задана неравенствами  

Решение
Уравнение  определяет параболу, уравнение  – верхнюю часть окружности
 или . Область  заключена между параболой и полуокружностью.
Изобразим область интегрирования на рисунке.

Очевидно, что область интегрирования является правильной областью в направлении обеих осей координат. Поэтому возможны два варианта выбора порядка интегрирования: вначале по , затем по  или наоборот.
При первом варианте выбора порядка интегрирования область  придется разбивать на две области  и , так как в этом случае левая и правая границы области определяются двумя различными функциями.
При втором варианте выбора порядка интегрирования нет необходимости разбивать область  на части, так как верхняя и нижняя границы области определяются одной функцией.
Выберем второй вариант.
Очевидно, что область  определяется системой неравенств
Следовательно,

Задача 2. Вычислить

Задача 3. Вычислить