Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Исследование знакоположительного ряда на сходимость. Достаточные признаки сходимости

1. Признак сравнения

                   (1)
 и
                   (2)
и пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), т.е.  начиная с некоторого номера , тогда
  1. если сходится ряд (2), то сходится ряд (1);
  2. если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

2. Предельный признак сравнения
Если , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково.
Обычно применяют признаки сравнения с известными сходящимися или расходящимися рядами. Так, известно, что обобщенный гармонический ряд  сходится, если  и расходится, если .
Пример 1. Выяснить, сходится ли ряд Решение. Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :
, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся.
Ответ: данный ряд сходится.


3. Признак Даламбера
Пусть дан ряд                             
Если при  существует предел модуля отношения последующего члена к предыдущему , равный :
,то при  ряд сходится, при  ряд расходится.
При  ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и необходимо применить другой признак сходимости ряда.
Пример 2. Выяснить, сходится ли ряд Решение. Здесь , . Поэтому , следовательно, данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.


4. Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд (32).
Если при  существует предел корня n-ой степени из модуля общего члена, равный :
,
то при  ряд сходится, при  ряд расходится.
При  ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Пример 3. Выяснить вопрос о сходимости ряда . Решение. Применим радикальный признак Коши.

Здесь . , следовательно, данный ряд сходится.
Ответ: данный ряд сходится.


5. Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд (32), члены которого являются значениями непрерывной функции  при целых значениях аргумента , и пусть  монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.
Пример 4. Рассмотрим ряд К этому ряду не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши (при применении признака Даламбера или радикального признака Коши получим ). Применим интегральный признак Коши:

Таким образом, мы доказали, что гармонический ряд сходится при  и расходится при .


Задача Исследовать на сходимость числовые ряды .
1)

Решение
1)  Сравним данный знакоположительный ряд с гармоническим рядом  который расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:
 Оба ряда ведут себя одинаково, следовательно, исследуемый ряд расходится.
2) . Воспользуемся признаком Даламбера. Для исследуемого ряда , .
Так как , то исследуемый ряд сходится.
3)  Воспользуемся радикальным признаком Коши:
. Исследуемый ряд сходится.
4) . Воспользуемся интегральным признаком сходимости.

   Так как интеграл  расходится, то расходится и ряд .




Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment