Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Неоднородные дифуравнения 2 порядка

Задача1
   Решить задачу Коши для дифференциальных уравнений.
   а) ,                       , ;
б) .

Решение
Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения имеет вид , где
 – общее решение соответствующего однородного уравнения,
 – любое частное решение неоднородного уравнения.
В тех случаях, когда правая часть неоднородного уравнения содержит степенные, показательные, тригонометрические функции  и их сумму и произведение, частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Частное решение в этих случаях ищется в виде аналогичном виду правой части уравнения, однако, на вид частного решения влияет и левая часть уравнения (корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения).
а) ,               , .
Найдем . Для этого запишем соответствующее однородное уравнение , составим его характеристическое уравнение , найдем корни характеристического уравнения , , запишем .
Найдем . Так как правая часть уравнения имеет вид , а среди корней характеристического уравнения нет корней равных , то будем искать частное решение в виде .
Единственным условием для нахождения коэффициентов  является заданное уравнение. Поэтому найдем ,  и подставим их значения в неоднородное уравнение.
Получим .
Приравнивая коэффициенты при  и  в левой и правой частях последнего уравнения, получим систему уравнений для нахождения коэффициентов  и  
Решением системы являются , .
Следовательно, .
Так как , то общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид .
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям  найдем , значения ,  и составим систему для нахождения  и .
   
Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид  - это и есть решение задачи Коши.
б) ,           .
Найдем . , , , .
Найдем . Так как правая часть уравнения имеет вид , а среди корней характеристического уравнения есть корень равный , то будем искать частное решение в виде  или .
Найдем ,

 и подставим их значения в неоднородное уравнение.

или ,
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему для нахождения коэффициентов  и .
         
Таким образом, .
Так как , то общее решение данного неоднородного уравнения имеет вид
.
Для нахождения частного решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям  найдем , значения ,  и составим систему для нахождения  и .
  
  
Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид  или  - это и есть решение задачи Коши.

Задача2




Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment