Высшая математика и экономика

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Однородные дифуравнения 2 порядка


      Задача
       Найти общие решения дифференциальных  уравнений.

а) ; б) ; в) .

Решение
Нахождение частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами приводит к характеристическому уравнению .
Зная корни характеристического уравнения, можно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
При этом справедливы следующие утверждения:
каждому действительному простому корню характеристического уравнения соответствует частное решение уравнения - ;
каждому действительному корню характеристического уравнения кратности соответствует набор из частных решений уравнения - ;
каждой паре комплексно-сопряженных простых корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений уравнения - .
а) Для уравнения составим характеристическое уравнение . Его корни . Этим значениям корней соответствуют частные решения . В соответствии с теоремой о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид , где - произвольные числа.
б) Для уравнения составим характеристическое уравнение . Характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2. Этому корню соответствуют два частных решения .Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид .
в) Для уравнения составим характеристическое уравнение . Его корни , . Этим корням соответствуют два частных решения , . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид