Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Однородные дифуравнения 2 порядка

Задача

Найти общие решения дифференциальных уравнений.
а) ; б) ; в) .

Решение
Нахождение частных решений  линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами  приводит к характеристическому уравнению .
Зная корни характеристического уравнения, можно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
При этом справедливы следующие утверждения:
каждому действительному простому корню характеристического уравнения  соответствует частное решение уравнения - ;
каждому действительному корню характеристического уравнения  кратности  соответствует набор из  частных решений уравнения - ;
каждой паре комплексно-сопряженных простых корней характеристического уравнения  соответствует пара частных решений уравнения - .
а) Для уравнения  составим характеристическое уравнение . Его корни . Этим значениям корней соответствуют частные решения . В соответствии с теоремой о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид , где  - произвольные числа.
б) Для уравнения  составим характеристическое уравнение . Характеристическое уравнение имеет один корень  кратности 2. Этому корню соответствуют два частных решения .Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид .
в) Для уравнения  составим характеристическое уравнение . Его корни , . Этим корням соответствуют два частных решения , . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

 или .