Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Однородные дифуравнения 2 порядка
Задача
Найти общие решения дифференциальных уравнений.
а)
; б)
; в)
.
Решение
Нахождение частных решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
приводит к характеристическому уравнению
.
Зная корни характеристического уравнения, можно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
При этом справедливы следующие утверждения:
каждому действительному простому корню характеристического уравнения соответствует частное решение уравнения -
;
каждому действительному корню характеристического уравнения кратности
соответствует набор из
частных решений уравнения -
;
каждой паре комплексно-сопряженных простых корней характеристического уравнения соответствует пара частных решений уравнения -
.
а) Для уравнения составим характеристическое уравнение
. Его корни
. Этим значениям корней соответствуют частные решения
. В соответствии с теоремой о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид
, где
- произвольные числа.
б) Для уравнения составим характеристическое уравнение
. Характеристическое уравнение имеет один корень
кратности 2. Этому корню соответствуют два частных решения
.Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид
.
в) Для уравнения составим характеристическое уравнение
. Его корни
,
. Этим корням соответствуют два частных решения
,
. Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид

