Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Дифференциальные уравнения 1 порядка
Решить дифференциальные уравнения:
а)
; б)
; в) 
Решение
а) Уравнение - это уравнение с разделяющимися переменными, то есть уравнение вида
.
Разделим переменные: ,
,
.
Интегрируя, получим
,
,
,
,
.
Таким образом, общим решением уравнения является функция , где C - произвольная постоянная.
б) Если в уравнении функция
является однородной функцией нулевого измерения
, то это уравнение называется однородным.
Однородное уравнение с помощью подстановки ,
,
сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Проверим функцию на однородность:
.
Следовательно, заданное уравнение является однородным.
Делаем подстановку ,
,
.
Уравнение примет вид
или
.
Разделим переменные и проинтегрируем.
,
,
,
,
,
,
,
.
Возвращаясь к переменным и
, получим общее решение заданного уравнения
или
.
в) Уравнение линейное относительно
и
, то есть является уравнением вида
, которое называется линейным.
Применим для его решения метод подстановки.
Будем искать решение уравнения в виде
. Тогда
и уравнение принимает вид
или
.
Выберем из условия
.
Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
,
,
,
,
.
Для определенной таким образом функции , получим уравнение для нахождения функции
:
или
. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение
.
