Высшая математика и экономика

Дифференциальные уравнения 1 порядка

Решить дифференциальные уравнения:
а) ;    б) ;        в)

Решение
а) Уравнение  - это уравнение с разделяющимися переменными, то есть уравнение вида .
Разделим переменные: , , .
Интегрируя, получим
,  , , , .
Таким образом, общим решением уравнения является функция , где C - произвольная постоянная.
б) Если в уравнении  функция  является однородной функцией нулевого измерения , то это уравнение называется однородным.
Однородное уравнение с помощью подстановки ,

,  сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Проверим функцию  на однородность:
.
Следовательно, заданное уравнение является однородным.
Делаем подстановку ,

, .
Уравнение  примет вид  или .
Разделим переменные и проинтегрируем.
, , , ,
, , ,
.
Возвращаясь к переменным  и  , получим общее решение заданного уравнения  или .
в) Уравнение  линейное относительно  и , то есть является уравнением вида , которое называется линейным.
Применим для его решения метод подстановки.
Будем искать решение уравнения  в виде . Тогда  и уравнение принимает вид или .
Выберем  из условия .
Уравнение  является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение.
, , , , .
Для определенной таким образом функции , получим уравнение для нахождения функции :  или . Это уравнение с разделяющимися переменными. Его решение .

   Запишем общее решение заданного уравнения .