Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Метод наименьших квадратов

В различных практических исследованиях приходится использовать формулы, полученные на основании опыта, наблюдения. Один из лучших способов получения таких формул – метод наименьших квадратов. Пусть, например, на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между температурой х и удлинением у рельса. По результатам измерений составляем таблицу:


Предположим, что эти точки координатной плоскости находятся приблизительно на одной прямой

В данном случае естественно предположить, что между х и у существует линейная зависимость, выражающаяся уравнением . Так как точки ,  лишь приблизительно лежат на одной прямой, то равенства  будут выполняться приближенно и величины  будут отличны от нуля.
Составим следующую сумму .
Подберем параметры  и  так, чтобы функция  принимала наименьшие значения, то есть чтобы сумма квадратов погрешностей  была наименьшей.
Из необходимых условий экстремума следует

Тогда

или

Решая эту систему, найдем  и  и, подставив их в уравнение , получим приближенное значение исследуемой функции.

 

Пример 1
 В таблице приведены пять экспериментальных значений искомой функции . Аппроксимировать эту функцию линейной функцией  методом наименьших квадратов. Построить график аппроксимирующей функции и экспериментальные точки.

x

1

2

3

4

5

y

1,8

1,3

3,3

4,8

3,8

Решение
Параметры а и b, для которых осуществляется наилучшее приближение (по методу наименьших квадратов), определяются из системы уравнений
 
Для получения системы, соответствующей заданным значениям, можно рекомендовать оформлять вычисления в виде таблицы:

 

xi

yi

xi^2

xiyi

1

1

1,8

1

1,8

2

2

1,3

4

2,6

3

3

3,3

9

9,9

4

4

4,8

16

19,2

5

5

3,8

25

19

15

15

55

52,5

Составляем систему уравнений
Решая систему, находим , .
Таким образом,
Делаем чертёж

 

Пример2.
Экспериментально получены пять значений искомой функции  при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию  в виде

Решение.
Запишем нормальные уравнения для коэффициентов  и :

Составим вспомогательную таблицу:

Подставим числовые значения в нормальные уравнения:

Решив систему, получим ; .
Искомая функция имеет вид:

В последнем столбце таблицы запишем значения , вычисленные по полученной формуле



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment