Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.

Пример 1.
Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .
.
.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
;
.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как , , , т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.
Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Пример 4

Функция  является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят  точки , , , следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
   Определим тип точек разрыва.
   1) .
;
.
   Так как , то точка  является точкой
разрыва второго рода функции .
   2) .
;

.
Односторонние пределы функции в точке  равны, но функция при  не определена, следовательно,  является устранимой точкой разрыва первого рода.
3) .
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
,  и  является точкой разрыва второго рода функции .
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
 и . Так как функция четная, то
.
Построим эскиз графика функции .