Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва.
Пример 1
.
Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .
.
.
Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
;
.
Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.
Пример 2
Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как ,
,
, т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.
Пример 3
Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.
Так как и
, то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.
Пример 4 
Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки
,
,
, следовательно, они являются точками разрыва данной функции.
Определим тип точек разрыва.
1) .
;
.
Так как , то точка
является точкой
разрыва второго рода функции .
2) .
;
.
Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при
не определена, следовательно,
является устранимой точкой разрыва первого рода.
3) .
Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что
,
и
является точкой разрыва второго рода функции
.
Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при
и
. Так как функция четная, то
.
Построим эскиз графика функции .
