Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных в данной области

Найти  и  
для функции  
в замкнутой области D, заданной  системой неравенств . Сделать рисунок области D

Решение
Своего наибольшего и наименьшего значений в заданной области функция может достигать либо в экстремальной точке, принадлежащей заданной области, либо на границе области.
Изобразим заданную область

Найдём стационарные точки функции из системы
Для заданной функции система примет вид  или
Решая систему, находим координаты стационарной точки . Эта точка лежит на границе области D.
Исследуем функцию на границе области D.
На ОА  и заданная функция становится функцией одного аргумента :  .
Найдём стационарные точки функции : ;  

при . Точка  принадлежит ОА.
На ОВ  и заданная функция становится функцией одного аргумента :  .
Найдём стационарные точки функции : ;  

при . Точка  принадлежит ОВ.
На АВ  и заданная функция становится функцией одного аргумента :
 .
;  при . При  .

Эта стационарная точка  совпадает с точкой .
Кроме стационарных точек М, N, P необходимо рассмотреть и точки «стыковки» границ области, так как эти точки являются границами областей для функций ,  и .
Вычислим значения функции в точках А, В, M, N, P:
, , ,
, ,
.

Сравнивая найденные значения функции, делаем вывод, что в заданной области наименьшее значение функции , наибольшее значение .



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment