Высшая математика и экономика
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
Решения типовых задач - Математический анализ
Экстремум функции трех переменных
Найти точки экстремума функции
и определить их характер.
Решение
Найдем стационарные точки заданной функции, то есть точки, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума. Для функции трех переменных стационарные точки (координаты точек) находятся из системы
Для заданной функции ,
,
и система примет вид
Решениями системы являются и
Получили две стационарные точки и
.
Для проверки достаточных условий экстремума в стационарной точке необходимо определить знаки определителей ,
и
в этой точке.
Найдем ,
,
,
,
,
.
Для точки
,
,
.
Так как ,
,
, то в точке
функция имеет максимум, при этом
.
Для точки
,
,
.
Так как ,
,
, то в точке
функция не имеет экстремума.