Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Экстремум функции трех переменных

Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение
Найдем стационарные точки заданной функции, то есть точки, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума. Для функции трех переменных  стационарные точки (координаты точек) находятся из системы
Для заданной функции , ,  

и система примет вид
Решениями системы являются  и
Получили две стационарные точки  и .
Для проверки достаточных условий экстремума в стационарной точке необходимо определить знаки определителей ,
 и  в этой точке.
Найдем , , , , , .
Для точки  ,

,
.

Так как , , , то в точке  функция имеет максимум, при этом
.
Для точки  ,

,

.

Так как , , , то в точке  функция не имеет экстремума.