Полезные материалы:

Решения типовых задач - Математический анализ

Вычислить пределы

1)

 при а) , б) , в) , г) ;
2) ;      3) ;       
4)

5)  при b = 5;1;7

Решение
1) Если подстановка предельного значения переменной в функцию не приводит к неопределенности, то ответ очевиден.
а), б) .
Если подстановка предельного значения  переменной  в функцию приводит к неопределенности типа , то и в числителе, и в знаменателе дроби есть одинаковые множители . Разложив числитель и знаменатель дроби на множители и сократив на множитель , можем избавиться от неопределенности.
в) .
Если при  получается неопределенность типа , то деление числителя и знаменателя дроби на  в старшей степени и последующее использование свойств пределов приводит к ответу.
г)
.
2) Если подстановка предельного значения  переменной  в функцию приводит к неопределенности типа , то и в числителе, и в знаменателе дроби есть одинаковые множители . Для нахождения этого множителя достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот.

.
3) Если в выражении, стоящем под знаком предела, есть тригонометрические или обратные тригонометрические функции и имеется неопределенность типа , то она может быть раскрыта с помощью первого замечательного предела .
= =.
4) При вычислении пределов можно заменять функцию на эквивалентную. Так, например,
при  , , ,
, , , , .
Для решаемой задачи
,
, , .

Следовательно =.

5) :

.
Приведем полученное выражение ко 2-му замечательному пределу (формула (2)), сделав замену переменной , тогда  и . Имеем:
.

 


.

 


.
Если , то , если же , то .



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment