Полезные материалы:

Математика в экономике. Экономическая статистика

Статистика уровня жизни населения

Задача 1. По приведенным в следующей таблице данным (первые три столбца) о распределении населения РФ по ежемесячному среднедушевому доходу (СДД) в 2004 году рассчитать показатели дифференциации доходов (численность населения России в 2004 году составила 144,2 млн. чел.).

групп i

Месячный
СДД, руб./чел.

Доля населения
di

Численность населения, млн. чел.

Доход, млн. руб.

Доля доходов
qi

Кумулятивные доли

населения
d’i

дохода
q’i

1

до 1000

0,019

2,7398

2054,85

0,00284829

0,019

0,00284829

2

1000-1500

0,043

6,2006

7750,75

0,01074355

0,062

0,01359184

3

1500-2000

0,062

8,9404

15645,7

0,02168699

0,124

0,03527883

4

2000-3000

0,146

21,0532

52633

0,07295623

0,27

0,10823506

5

3000-4000

0,139

20,0438

70153,3

0,09724166

0,409

0,20547671

6

4000-5000

0,118

17,0156

76570,2

0,10613632

0,527

0,31161303

7

5000-7000

0,17

24,514

147084

0,20387767

0,697

0,51549071

8

свыше 7000

0,303

43,6926

349540,8

0,48450929

1

1

 

Итого

1

144,2

721432,6

1

 

 

Решение. Сначала определяем абсолютные величины дифференциации. Так, больше всего людей (их доля – 0,303) имели доход свыше 7000 руб./чел. В этом интервале и находится модальный доход, точное значение которого определяется следующим образом:
Mo = 7000 + 2000= 7610 руб./чел.
Доход в интервале 4000-5000 руб./чел. является граничным для половины людей, поэтому значение медианного дохода равно:
Ме = 4000 + 1000= 4771,19 руб./чел.
Затем рассчитываем простейшие относительные величины дифференциации – децильный и фондовый коэффициенты. Децильный (дециль составляет 10%) коэффициент – это отношение минимального СДД 10% самого богатого населения (minСДД10%бог) к максимальному СДД 10% самого бедного населения (maxСДД10%бед). Коэффициент фондов – это отношение среднего СДД 10% самого богатого населения к среднему же СДД 10% самого бедного населения.
,                   .
По исходным данным необходимо отобрать 10% самых бедных людей, т.е. первые три группы (их кумулятивная доля равна 0,124, что ближе всего к необходимым 0,1). Так как первый интервал СДД является открытым, следовательно, представляем его в закрытом виде, используя размах соседнего интервала в размере 500 руб./чел. (т.е. границы 1-й группы составят от 500 до 1000 руб./чел.). Тогда первые три группы самых бедных (12,4%) предстанут в границах 500-2000 с серединой 1250 руб./чел. Если 12,4% бедных имеют размах доходов 1500 руб./чел., то 10% будут иметь размах доходов: 10%*1500/12,4%=1209,68 (руб./чел.).

Значит maxСДД10%бед = 500 + 1209,68 = 1709,68 (руб./чел.),

а  = 500 + 1209,68 / 2 = 1104,84 (руб./чел.).
Теперь отберем 10 % самых богатых людей – это 8-я группа с доходами от 7000 до 9000 руб./чел. (так как интервал открытый, то применили размах соседнего интервала в размере 2000 руб./чел.), т.е. 30,3% самого богатого населения имеет размах доходов 2000 руб./чел. Нам нужно отобрать не 30,3%, а 10%, поэтому, решая пропорцию, находим размах доходов 10% самого богатого населения. Он равен 660,07 руб./чел. Отсюда minСДД10%бог = 9000 - 660,07 = 8339,93 руб./чел., а его среднее значение  = 9000 - 660,07/2 = 8669,97 (руб./чел.).
Таким образом, по формуле (108) децильный коэффициент КДЦ = 8339,93/1709,68=4,88, а по формуле (109) коэффициент фондов КФ = 8669,97/1104,84=7,85.
Для расчета более сложных относительных величин дифференциации определим доход и его долю в каждой группе людей, используя середины интервалов СДД и количество людей в группах. Так, доход первой группы составит: 750 руб./чел. * 2,7398 млн. чел. = 2054,85 млн.руб., а его доля равняется 2054,85/721432,6=0,00284829. Аналогично, например, для четвертой группы: 2500*21,0532 = 52633 млн. руб. и 52633/721432,6=0,07295623. Естественно, доли доходов надо определять после суммирования доходов по группам (получается 721432,6 млн. руб.).
Полученные доли людей и доходов вписываются в таблицу, после чего определяются соответствующие кумулятивные доли (нарастающим итогом). Например, кумулятивная доля людей 3-й группы составит 0,019+0,043+0,062=0,1240, а кумулятивная доля их доходов – соответственно 0,00284829+0,01074355+0,02168699=0,03527883. Сумма долей как в обычном, так и в кумулятивном виде должна равняться 1.
Кумулятивные доли также вписываются в таблицу, после чего можно определять коэффициенты локализации (определяется по формуле Лоренца) и концентрации (определяется по формуле Джини) доходов:
;                  .
Значения коэффициентов Лоренца и Джини изменяются от 0 до 1. Нулевое их значение свидетельствует об абсолютной равномерности распределения доходов по группам населения. Чем ближе эти коэффициенты к единице, тем в большей мере доходы сосредоточены в отдельной группе населения. Естественно, при этом часть населения оказывается живущей в бедности.
Так, коэффициент локализации Лоренца равняется:
Кл = 0,5 * (|0,19–0,002848| + |0,043–0,010744| + |0,062–0,021687| + |0,146–0,072956| +

+ |0,139–0,09242| + |0,118–0,10614| + |0,17–0,20388| + |0,303–0,4845|)  = 0,215.
Для наглядности неравномерность распределения доходов изобразим графически в виде кривой Лоренца (рис.).
Коэффициент концентрации Джини равняется:
КД = 0,019*0,013592 + 0,062*0,03528 + 0,124*0,108235 + 0,27*0,2055 + 0,409*0,3116 + 0,527*0,5155 + 0,697*1 – 0,00285*0,062 – 0,0136*0,124 – 0,0353*0,27 – 0,108234*0,409 – 0,2055*0,527 – 0,3116*0,697 – 0,51549*1 = 1,168 – 0,897 = 0,271.
Рис. Кривая распределения доходов.
Таким образом, коэффициенты Лоренца и Джини показали, что 0,215–0,271 доходов населения или 21,5–27,1% сосредоточено в руках 10% самых богатых людей, что говорит о неравномерности распределения доходов в России.


Задача 2. Рассчитать индекс развития человеческого потенциала на 2006 год по следующим данным:

Ожидаемая продолжительность жизни, лет

63

Доля грамотных / учащихся

0,82 / 0,65

Паритет покупательной способности валют

1,1

Среднегодовой индекс инфляции

1,03

Среднедушевой ВВП в мес., $/чел

1200

Решение. В качестве обобщающего критерия уровня жизни используется разработанный Программой развития ООН в 1993 г. индекс развития человеческого потенциала (ИРЧП), который базируется на расчете трех индексов и представляет собой простую среднюю арифметическую величину:
.
где IОБР – международный индекс уровня образования, определяемый по формуле (113); IОЖ – индекс ожидаемой при рождении продолжительности жизни, определяемый по формуле (114); IВВП – индекс валового внутреннего продукта (ВВП), определяемый по формуле (116).

где  – доля грамотных,  – доля учащихся.
,
где Xm, XM —минимально и максимально возможная продолжительность жизни, Х0 – ожидаемая при рождении продолжительность жизни, определяемая по формуле (115).
По мировым стандартам Xm = 25 лет, а XM = 85 лет, значит, для международных сопоставлений надо принимать:
X0 = 85(1- К'мс),
где К'мс – коэффициент младенческой смертности, выраженный в долях единицы.

где  – фактический в стране среднедушевой валовой внутренний продукт; ВВПm и ВВПM – минимальный и максимальный размеры среднедушевого ВВП по мировым стандартам; ППСВ – паритет покупательной способности валют.
В качестве минимального размера ВВП принято $100 на человека в месяц, а максимальным размером для разумно высокого благосостояния в 1992 г. считалось $5120 на человека в месяц. Максимальный размер на последующие годы корректируется с учетом среднегодового индекса инфляции по формуле:
ВВПM = 5120*,
где t – количество лет с 1992 до расчетного года, а индекс инфляции iф можно принять по предыдущему перед расчетным годом.
В нашей задаче индекс образования по формуле:
IОБР = 2/3*0,82 + 1/3*0,65 = 0,763.
Находим индекс ожидаемой при рождении продолжительности жизни по формуле:

 = (63 – 25)/(85 – 25) = 0,633.
Определяем максимальный ВВП по формуле:
ВВПM= 5120*1,0314 = 7744,459.
Индекс валового внутреннего продукта находим по формуле:
IВВП = (1200*1,1–100)/(7744,459–100) = 0,160.
ИРЧП по определяем по формуле:
ИРЧП = (0,763 + 0,633 + 0,160) / 3 = 0,519.



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment