Полезные материалы:

Математика в экономике. Экономическая статистика

Выборочное наблюдение

Задача 1. На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за месяц:

Доход, у.е.

до 300

300-500

500-700

700-1000

более 1000

Число рабочих

8

28

44

17

3

С вероятностью 0,950 определить:
1) среднемесячный размер дохода работников данного предприятия;
2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход более 700 у.е.;
3) необходимую численность выборки при определении среднемесячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е.;
4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.

Решение. Выборочный метод (выборка) используется, когда применение сплошного наблюдения физически невозможно из-за огромного массива данных или экономической нецелесообразности. Учитывая, что на основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр (например, среднее значение –  или долю какого-то признака – р) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Для этого необходимо определить изучаемый параметр по данным выборки (выборочную среднюю – и/или выборочную долю – w) и его дисперсию (Дв). Для этого построим вспомогательную таблицу 3.
Таблица. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi

fi

Хи

Хи*fi

(Хи-)^2

(Хи -)^2*fi

до 300

8

200

1600

137641

1101128

300 - 500

28

400

11200

29241

818748

500 - 700

44

600

26400

841

37004

700 - 1000

17

850

14450

77841

1323297

более 1000

3

1150

3450

335241

1005723

Итого

100

 

57100

 

4285900

Средний доход в выборке: = 57100/100 = 571 (у.е.).

Дисперсия среднего выборочного дохода: Дв = 4285900/100 = 42859.
Затем необходимо определить предельную ошибку выборки по формуле:
 = t
где tкоэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки;средняя ошибка выборки, определяемая для повторной выборки по формуле (40), а для бесповторной – по формуле (41):
*=                      *=
где n – численность выборки; N – численность генеральной совокупности.
В нашей задаче выборка бесповторная, значит, применяя формулу (41), получим среднюю ошибку выборки при определении среднего возраста в генеральной совокупности: *= = 19,640 (у.е.).
Для определения средней ошибки выборки при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить дисперсию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w (признак, который может принимать только два взаимоисключающих значения – например, больше или меньше определенного значения) определяется по формуле (42):

В нашей задаче долю альтернативного признака (рабочие с доходами более 700 у.е.) найдем как отношение числа таких рабочих к общему числу рабочих в выборке: w = 20/100 = 0,2 или 20%. Теперь определим дисперсию этой доли по формуле: =0,2*(1-0,2) = 0,16.

Теперь можно рассчитать среднюю ошибку выборки: *= = 0,038 или 3,8%.
Значения вероятности * и коэффициента доверия t имеются в математических таблицах нормального закона распределения вероятностей (если в выборке более 30 единиц), из которых в статистике широко применяются сочетания, приведенные в таблице 4:
Таблица. Значения интеграла вероятностей Лапласа

*

0,683

0,866

0,950

0,954

0,988

0,997

t

1

1,5

1,96

2

2,5

3

В нашей задаче * = 0,950, значит t = 1,96 (то есть предельная ошибка выборки в 1,96 раза больше средней). Предельная ошибка выборки по формуле (39) будет равна:  = 1,96*19,64 = 38,494 (у.е.) при определении среднего дохода;  = 1,96*0,038 = 0,075 или 7,5% при определении доли рабочих с доходами более 700 у.е.
После расчета предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности п для средней величины и для доли альтернативного признака:
(-) (+)              (w -) p (w +)
В нашей задаче по формуле (43): 571-38,494 571+38,494 или 532,506   609,494 у.е., то есть средний доход всех рабочих предприятия с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 532,5 до 609,5 у.е.
Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (44): 0,2-0,075 p0,2+0,075 или 0,125 p0,275, то есть доля рабочих с доходами более 700 у.е. на всем предприятии с вероятностью 95% будет лежать в пределах от 12,5% до 27,5%.
При разработке программы выборочного наблюдения очень часто задается конкретное значение предельной ошибки () и уровень вероятности (*). Неизвестной остается минимальная численность выборки (n), обеспечивающая заданную точность. Ее можно получить, если подставить формулу (40) или (41) в формулу (39) и выразить из них n. В результате получатся формулы для вычисления необходимой численности повторной (45) и бесповторной (46) выборок.
nповт = ;                    nб/повт =
В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (46), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного дохода рабочих (Дв = 42859) и доли рабочих с доходами более 700 у.е. (Дв = 0,16):
nб/повт = = 62 (чел.),           nб/повт= = 197 (чел.).
Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 62 рабочих при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы не ошибиться более чем на 50 у.е., и не менее 197 рабочих при определении доли рабочих с размером месячного дохода более 700 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 5%.

 



Учебники
Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики Comment

Справочники
Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики. Comment

Онлайн калькуляторы
Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением. Comment