Готовое - Математический анализ

Производные и графики (решение типового варианта)

1. Найти производную п-го порядка функции .
2.Провести полное исследование функции  и построить ее график.
3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
4. Функцию разложить по формуле Тейлора по степеням х до члена, содержащего . Записать остаточный член в форме Лагранжа.

5.Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:
а) ; б) .


Решение.
1. Найти производную п-го порядка функции.
.

2. Провести полное исследование функции  и построить ее график.

Решение.

Преобразуем запись функции:
 
1. Область определения функции: .
Точки разрыва:нет. Вертикальные асимптоты: нет.
2.  Четность: функция общего вида. Периодичность: нет.
Точки пересечения функции с осями координат: .
3. Наклонные и горизонтальные асимптоты графика функции :


двусторонняя асимптота.

4. Первая производная, критические точки.

Критические точки 
5. Вторая производная, точки «подозрительные» на перегиб:


Точки «подозрительные на перегиб» (здесь это корни знаменателя):
6. Сводная таблица:

 

 

 

   2

 

    3

      

Не сущ.

       

0

   +

Не сущ

  +

     0

    

Не сущ.

  

         

Не сущ.

         +

+

  +

Не сущ

 

   

    

Не сущ.

   +

Точка.

перегиба

Точка перегиба

max

Точка перегиба

                                                                                                

7. Построение графика.


3. Показать, что функция удовлетворяет уравнению
 Решение..

При подстановке функции в уравнение получено тождество, следовательно, функция удовлетворяет уравнению
4. Функцию  разложить по формуле Тейлора по степеням  до члена, содержащего . Записать остаточный член в форме Лагранжа.
Решение.





Так как  и , то

Ряд  Маклорена для функции имеет вид:

где.

5.Используя правило Лопиталя, вычислить пределы:
а) ; б) .

Решение.
а) .
Обозначим. Тогда:

Далее применим правило Лопиталя:

Ответ..

б) .
Решение.  По правилу Лопиталя:

                             Ответ.